背景
在阅读离散小波变换相关的文章时，遇到诸如 $ \mathcal{F}\left( <\phi_{j,k}, \phi_{j,m}> \right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert\Phi\left(\omega+2\pi m\right)\vert^2 $ 一类涉及Poisson求和公式的周期求和问题就会产生困惑。前期阅读过 M. Holschneider 所著 Wavelet: And Analysis Tool 书中，2.9节对Poisson求和公式有所解释，然而由于阅读时间较久，已然忘却。现重读该部分，并进行记录以便后续查找。
The Poisson Summation Formula
周期化函数
以 $ 2\pi $ 为周期的函数满足 iif $ s(\omega+2\pi) = s(\omega) $ (周期设置为 $ 2\pi $ 是为了方便推广到高维情况，即将一维单位圆推广到高维单位球，对于其它周期的函数，可以通过缩放将其周期化简到$ 2\pi $)。
对于在 $\mathbb{R}$ 上周期为 $2\pi$ 的函数，我们可以将其视为在单位圆 $ \mathbb{T} $ 上 （半径为 $ 1 $ ）。积分可记为：
\[\int_{\mathbb{T}} \text{d}\omega = \int_{0}^{2\pi}\text{d}\omega.\]定义内积：
\[\left<r,s\right>_\mathbb{T}=\int_{\mathbb{T}} \text{d}\omega\ \bar{r}(\omega)s(\omega) = \int_{0}^{2\pi}\text{d}\omega\ \bar{r}(\omega)s(\omega),\]范数：
\[\lVert s \rVert^2_{L^2(\mathbb{T})} =\left<s,s\right>_\mathbb{T} = \int_{0}^{2\pi}\text{d}\omega\ \left|s(\omega)\right|^2.\]如无特殊说明，后文中的“圆”均指单位圆。
周期化算子
定义周期化算子 $ \Pi $ 如下，它可以将 $ \mathbb{R} $ 上的非周期函数周期化。
\[\Pi : L^1\left(\mathbb{R}\right) \to L^1(\mathbb{T}), \quad (\Pi s)(\omega) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} s(\omega + 2 \pi n).\]此时，定义在 $ \mathbb{R} $ 上的函数 $ r $ 和定义在 $ \mathbb{T} $ 上的函数 $ s $ 的内积可以表示为：
\[\left<r, s\right>_\mathbb{R}=\left<\Pi r, s\right>_\mathbb{T}.\]证明如下：
\[\begin{align*} \left<r, s\right>_\mathbb{R} &= \int_\mathbb{R} \text{d}\omega\ \bar{r}(\omega)s(\omega) \\ &= \sum_{n\in\mathbb{Z}} \int^{2\pi (n+1)}_{2\pi n}\text{d}\omega\ \bar{r}(\omega) s(\omega) \\ &= \sum_{n\in\mathbb{Z}} \int^{2\pi}_{0}\text{d}\omega'\ \bar{r}(\omega'+2\pi n) s(\omega'+2\pi n) && \text{(}\omega'=\omega-2\pi n\text{)} \\ &= \sum_{n\in\mathbb{Z}} \int^{2\pi}_{0}\text{d}\omega\ \bar{r}(\omega+2\pi n) s(\omega) && \text{(}\omega=\omega', s\text{ is with 2}\pi \text{ period.}\text{)} \\ &= \int^{2\pi}_{0}\text{d}\omega\ \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\bar{r}(\omega+2\pi n)\right) s(\omega) \\ &= \left<\Pi r,s\right>_\mathbb{T}\\ &\ &&\ && \blacksquare \end{align*}.\]定义等距采样函数：
\[\text{山}_\lambda(\omega) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(\omega-n\lambda).\]使用等距采样函数可将周期化算子表示为：
\[\Pi_{2\pi}: s\mapsto \text{山}_{2\pi} * s.\]序列和采样
定义整数点取值的函数为序列，记为 $ l(n) $ 或 $ l_n $，其内积表示为：
\[\left<l, v\right> = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \bar{l}(n)v(n),\]范数：
\[\lVert l \rVert^2_{L^2(\mathbb{Z})} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \vert{l}(n)\vert^2.\]完美采样算子 $ \Sigma $ 定义为函数从实轴 $ \mathbb{R} $ 到序列 $ \mathbb{Z} $ 的映射：
\[\Sigma C(\mathbb{R}) \cap L^\infty(\mathbb{R}) \to L^\infty(\mathbb{Z}), \quad s \mapsto \Sigma s, \quad (\Sigma s)(n) = s(n).\]可以用周期为1的等距采样函数来表示完美采样算子：
\[\Sigma: s\mapsto \text{山}s.\]使用其它函数 $ \psi $ 进行采样为非完美采样，定义为：
\[\Sigma_\psi: L^2(\mathbb{R})\to L^\infty(\mathbb{Z}), \quad (\Sigma_\psi) s(n) = \left<\psi(\cdot-n), s\right>.\]圆上的Fourier变换
圆上的Fourier变换将圆上的函数映射到序列，定义为：
\[F^{\mathbb{T}}: L^2(\mathbb{T}) \to L^2(\mathbb{Z}),\quad (F^\mathbb{T}s)(n) = \hat{s} = \left<e_n, s\right> = \int_{\mathbb{T}} \text{d} \omega\ e^{-in\omega}s(\omega).\]逆Fourier变换则将序列映射回圆上的函数：
\[F^{\mathbb{T}\ -1}: L^2(\mathbb{Z}) \to L^2(\mathbb{T}),\quad (F^\mathbb{T\ -1}l)(\omega) = \frac{1}{2\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}} l(n) e^{in\omega}.\]当满足某些正则条件时， $ s $ 可以表示为 $ e_n $ 的叠加：
\[\begin{aligned} s &= \frac{1}{2\pi} \sum_{n\in\mathbb{Z}} (F^\mathbb{T}s)(n)e_n \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{s}(n)e_n \end{aligned}.\]时域的内积可以在频域计算：
\[\begin{aligned} \left<s, r\right>_\mathbb{T} &= \int_{\mathbb{T}} \text{d}\omega\ \bar{s}(\omega) r(\omega) \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{n\in\mathbb{Z}} \bar{\hat{s}}(n) \hat{r}(n) \\ &= \frac{1}{2\pi} \left<\hat{s}, \hat{r}\right>_\mathbb{Z} \end{aligned}.\]Fourier变换同时可以保存能量：
\[\lVert s \rVert _{L^2(\mathbb{T})}^{2}=\frac{1}{2\pi} \lVert F^{\mathbb{T}}s\rVert _{L^2(\mathbb{Z})}^2.\]类似的，定义在整数上的Fourier变换算子及逆算子：
\[F^\mathbb{Z}: L^2(\mathbb{Z}) \to L^2(\mathbb{T}),\quad (F^\mathbb{Z} l) (\omega)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} l(n)e^{-in\omega}, \\ F^{\mathbb{Z}\ -1}: L^2(\mathbb{T}) \to L^2(\mathbb{Z}),\quad s(n)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \text(d)\omega\ s(\omega)e^{in\omega}. \\\]时域的卷积和频域的乘积在以上两种Fourier算子中等价。
Poisson求和公式
Poisson求和公式将实轴函数 $s$ 及其周期化后的Fourier变换系数序列联系起来了，具体的：
定理9.5.1
在 $ L^1(\mathbb{R}) $ 上，有：
更具体地，对于 $s \in L^2(\mathbb{R})$ ,
\[(F^\mathbb{T}\Pi s)(n)=\hat{s}(n).\]对于 $s \in L^1(\mathbb{R}), \hat{s} \in L^1(\mathbb{R})$，
\[\sum_{n\in\mathbb{Z}}s(\omega+2\pi n) = \sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{s}(n)e^{in\omega}\]上式逐点成立。
